編輯導(dǎo)語：LTV，即用戶生命周期總價值，是運(yùn)營人員在業(yè)務(wù)過程中常接觸的指標(biāo)，通過對LTV的預(yù)估，運(yùn)營人員可以為后續(xù)決策做好準(zhǔn)備。本篇文章里，作者便針對LTV預(yù)估、留存函數(shù)擬合等問題進(jìn)行了解讀，一起來看一下。

一、從LTV預(yù)估開始說起

LTV的預(yù)估，是許多業(yè)務(wù)UE模型和增長模型的起點(diǎn)：

其中，用戶生命周期又可以用累加的留存率來計(jì)算：

不過，這里面使用的留存率卻未必是實(shí)際發(fā)生的歷史數(shù)據(jù)。

因?yàn)槲覀冏鰶Q策時往往等不了那么長的時間，所以我們一般使用的是根據(jù)前面一小段時間的數(shù)據(jù)擬合出來的留存函數(shù)R(t)。

那留存函數(shù)應(yīng)該怎樣擬合呢？

二、留存函數(shù)擬合

許多文章或資料會推薦這么一個方法：

1. 把過去的次日、3日、7日、14日、30日等留存率記錄在Excel中，畫出來一個散點(diǎn)圖；
2. 然后點(diǎn)擊圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)，右鍵選擇“添加趨勢線”，這時右方就會出現(xiàn)可以擬合的曲線類型（指數(shù)、線性、對數(shù)、多項(xiàng)式、乘冪、移動平均）；
3. 打開顯示公式和R平方項(xiàng)，在這些曲線類型和公式中，選擇R方最接近1的那個（一般是指數(shù)或乘冪），即為最終擬合得到的留存函數(shù)R(t)。

番茄小說2021.05新用戶留存率，QuestMobile

選擇R方最接近1，意味著找到了擬合程度最高的函數(shù)作為留存函數(shù)R(t)，接下來就可以回到LTV預(yù)估的主線去了。

不過這里有個小問題，卻似乎鮮有人討論過：為什么是指數(shù)或乘冪這兩個函數(shù)？如果擬合的結(jié)果是這兩個函數(shù)中的一個，意味著什么？它倆最核心的差異和聯(lián)系在哪？

三、兩個函數(shù)的差異

這兩個函數(shù)有什么差異呢？如果光從函數(shù)本身看，指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的核心差異在于衰減的速度。指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為：

冪函數(shù)的表達(dá)式為：

根據(jù)表達(dá)式我們可以推導(dǎo)出，如果以3天為一個周期，對于指數(shù)函數(shù)來說，留存率每三天會以同樣的速度衰減：

而對于冪函數(shù)來說，留存率衰減的速度會逐漸放緩，下一個同比例衰減周期會拉長到6天，即上一個周期的兩倍：

我們總是希望留存率的衰減能夠慢一些，所以相比之下，擬合成冪函數(shù)是更希望看到的結(jié)果。

四、艾賓浩斯遺忘曲線

那這兩個函數(shù)有什么聯(lián)系呢？1885年，德國心理學(xué)家艾賓浩斯（H.Ebbinghaus）首次對人類的記憶進(jìn)行了定量研究，他用無意義的音節(jié)作為記憶的材料，通過記錄一段時間后被試人員對這些音節(jié)材料的記憶留存率，繪制出了這樣一個曲線：

這個曲線也被稱為艾賓浩斯遺忘曲線（或記憶曲線），可以看到通過對這個曲線進(jìn)行擬合，得到的擬合度最高的是一個冪函數(shù)。

不過后續(xù)人們的研究表明，單一的遺忘曲線實(shí)際上應(yīng)該是更接近指數(shù)函數(shù)的，結(jié)合前面提到的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，說明人類會以一個固定的周期等概率地遺忘大腦中的信息，是一個很符合大自然規(guī)律的現(xiàn)象。

而艾賓浩斯之所以擬合得到了冪函數(shù)，是由于最初的記憶實(shí)驗(yàn)，混雜了不同難度的記憶材料，這種混雜改變了遺忘曲線的指數(shù)性質(zhì)。

下面的這個例子，可以解釋這一現(xiàn)象：

圖中黃色和紫色曲線，分別代表兩種難度記憶材料的遺忘曲線，它們都是指數(shù)函數(shù)y=e^(-kt)，其中k的大小不同，代表難度不同；

而黑色的散點(diǎn)，則為兩個函數(shù)的平均值（或可泛化為線性組合），通過對這些散點(diǎn)進(jìn)行擬合，會發(fā)現(xiàn)一個有趣的事實(shí)：

某些情況下，對兩個指數(shù)函數(shù)線性組合后的曲線，擬合度更高的（即R方更大的），卻不再是指數(shù)函數(shù)了，而是冪函數(shù)！

這個有意思的現(xiàn)象，各位有興趣的話，可以自行驗(yàn)證一下。

五、遺忘曲線與留存曲線

關(guān)于遺忘曲線的結(jié)論，對我們理解留存曲線有什么幫助嗎？

事實(shí)上我們早就發(fā)現(xiàn)，這兩個曲線驚人地一致。

如果把拉新激活的動作視為最初始的記憶訓(xùn)練，那么在后續(xù)的時間里，如果沒有再次激活，用戶就會以一定的概率，自然而然地遺忘我們的App，表現(xiàn)就和遺忘曲線是一樣的。

為了讓用戶回到我們的App，提升用戶留存率，我們通過各種push召回它們，這也和關(guān)于記憶的研究中，定期復(fù)習(xí)的方法如出一轍。

同時，和混雜材料帶來的遺忘曲線類似，絕大多數(shù)功能豐富的成熟應(yīng)用，留存曲線都應(yīng)該是衰減程度更慢的冪函數(shù)。

事實(shí)上也確實(shí)如此，包括前面提到的番茄小說例子在內(nèi)，我從QuestMobile驗(yàn)證了其他一些常見App，以及手頭有的一些內(nèi)部數(shù)據(jù)，它們的留存曲線的確都是擬合成了冪函數(shù)：

番茄小說、知乎與陌陌2021.05新用戶留存數(shù)據(jù)，QuestMobile

六、對數(shù)函數(shù)與其他LTV預(yù)估方法

最后再補(bǔ)充兩個點(diǎn)。

在前面的趨勢線擬合中，有一個對數(shù)函數(shù)可能會是迷惑選項(xiàng)。

對數(shù)函數(shù)的表達(dá)式是：

隨著t的增長，對數(shù)函數(shù)計(jì)算得到的結(jié)果很可能會小于0，而不是像指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)一樣始終保持大于0的結(jié)果。

小于0的留存率是沒有意義的，因此如果最優(yōu)擬合的結(jié)果是對數(shù)函數(shù)，更可能的情況是巧合或者樣本量太小，對數(shù)函數(shù)在這個場景下本身沒有合理的物理意義。

不妨在指數(shù)函數(shù)或者冪函數(shù)中選擇一個，他們的擬合度離最優(yōu)擬合應(yīng)該差不了多少。

而對于最開始提到的LTV預(yù)估公式：

需要說明的是，這里面隱藏了一個假設(shè)：ARPU值恒定不變，是個常數(shù)。

但在現(xiàn)實(shí)情況下，這樣的假設(shè)往往會帶來一些誤差，因?yàn)殡S著留存時間增加，這部分用戶的ARPU總是會隨之有所變化。

一種調(diào)整的方法是對ARPU同樣進(jìn)行預(yù)估，將公式改造為：

不過ARPU的變化規(guī)律可能很難找，或者壓根就沒有像留存曲線這樣簡單清晰的規(guī)律。

因此另一種調(diào)整方法是不做拆分，用更多樣本數(shù)據(jù)和特征數(shù)據(jù)，整體地對用戶貢獻(xiàn)價值進(jìn)行函數(shù)擬合預(yù)估：

這樣的方法需要足夠多的樣本，本身也更適合需要精細(xì)化的運(yùn)營場景，這里就不再展開了。

參考資料：

[1] https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting

[2] https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve

作者：青十五；公眾號：青十五，新書《策略產(chǎn)品經(jīng)理：模型與方法論》作者

本文由 @青十五 原創(chuàng)發(fā)布于人人都是產(chǎn)品經(jīng)理，未經(jīng)作者許可，禁止轉(zhuǎn)載。

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